定义:令
通项公式:
证明如下(摘自TAOCP的原练习题)(数竞党很少用不严格证明的定理):
1.括号对:答案为h(n)。
2.二叉树:答案为h(n)。
3.分多边形:答案为h(n),用这个可以简单的证明卡特兰数的通项:
不妨设h(i)为i边形的答案,明显,有
又因为我们可以得到,总共的分法有
故相减可得有 所以得证(肯定有人注意到了,这个h(n)的式子与卡特兰数的不符合,实际上这是卡特兰数的另一种递推式)。
例题:
?题?(别笑,题目就叫“题”)
题目:出个题就好了.这就是出题人没有写题目背景的原因.
你在平面直角坐标系上.
你一开始位于(0,0).
每次可以在上/下/左/右四个方向中选一个走一步.
即:从(x,y)走到(x,y+1),(x,y-1),(x-1,y),(x+1,y)四个位置中的其中一个.
允许你走的步数已经确定为n.现在你想走n步之后回到(0,0).但这太简单了.你希望知道有多少种不同的方案能够使你在n步之后回到(0,0).当且仅当两种方案至少有一步走的方向不同,这两种方案被认为是不同的.
答案可能很大所以只需要输出答案对10^9+7取模后的结果.(10^9+7=1000000007,1和7之间有8个0)
这还是太简单了,所以你给能够到达的格点加上了一些限制.一共有三种限制,加上没有限制的情况,一共有四种情况,用0,1,2,3标号:
0.没有任何限制,可以到达坐标系上所有的点,即能到达的点集为{(x,y)|x,y为整数}
1.只允许到达x轴非负半轴上的点.即能到达的点集为{(x,y)|x为非负数,y=0}
2.只允许到达坐标轴上的点.即能到达的点集为{(x,y)|x=0或y=0}
3.只允许到达x轴非负半轴上的点,y轴非负半轴上的点以及第1象限的点.即能到达的点集为{(x,y)|x>=0,y>=0}
【输入格式】
一行两个整数(空格隔开)n和typ,分别表示你必须恰好走的步数和限制的种类.typ的含义见【题目描述】.
【输出格式】
一行一个整数ans,表示不同的方案数对10^9+7取模后的结果.
【样例输入0】
100 0
【样例输出0】
383726909
【样例输入1】
100 1
【样例输出1】
265470434
【样例输入2】
100 2
【样例输出2】
376611634
【样例输入3】
100 3
【样例输出3】
627595255
【数据范围】
10%的数据,typ=0,n<=100
10%的数据,typ=0,n<=1000
5%的数据, typ=0,n<=100000
10%的数据,typ=1,n<=100
10%的数据,typ=1,n<=1000
5%的数据, typ=1,n<=100000
10%的数据,typ=2,n<=100
15%的数据,typ=2,n<=1000
10%的数据,typ=3,n<=100
10%的数据,typ=3,n<=1000
5%的数据, typ=3,n<=100000
以上11部分数据没有交集.
100%的数据,保证n为偶数,2<=n<=100000,0<=typ<=3.
题解:
明显第二个的答案就是h(n),第四个可以看成是两个维度的第二题,所以形式应该是
代码:
#include#include typedef long long ll; const ll mod = 1000000007; using namespace std; ll q_pow(ll a,ll b) { ll ans = 1; while (b) { if (b%2==1) (ans*=a)%=mod; b/=2; (a*=a)%=mod; } return ans%mod; } ll catalan(ll n) { ll wt = 1 , xiaowt=1; for (ll i = 1;i<=2*n;i++) (wt*=i)%=mod; for (ll i =1; i<=n;i++) (xiaowt*=i)%=mod; ll wtt = q_pow(xiaowt,mod-2); (wtt*=wtt)%=mod; (wtt *= q_pow(n+1,mod-2) )%=mod; return (wt * wtt + mod)%mod; } ll n , typ; int main() { //freopen(".in","r",stdin); //freopen(".out","w",stdout); scanf("%lld%lld",&n,&typ); if (typ == 0) { ll wt = 1; ll xiaowt = 1; for (ll i =1;i<=n;i++) (wt*=i)%=mod; for (ll i =1;i<=n/2;i++) (xiaowt*=i)%=mod; ll wtt = q_pow(xiaowt,mod-2); (wtt*=wtt)%=mod; ll answer = (wt*wtt +mod) %mod; (answer*=answer)%=mod; printf("%lld",answer); } else if (typ==1) { ll asw = catalan(n/2); (asw+=mod)%=mod; printf("%lld",asw); } else if (typ==2)//水水的dp,加法原理 { ll dp[2][2*n+10][2*n+10]; //1 y 0 x dp [0][1][n+2] = 1; dp [1][1][n+2] = 1;//1 dp [0][0][n+1] = 1; dp[1][0][n+1] = 1;//0 dp [0][1][n] = 1; dp [1][1][n] = 1;//-1 for (ll i = 1; i <= n;i++) { for (int j = 1 ;j <= 2 * n + 1 ; j++) { dp[0][i][j] = (dp[0][i-1][j+1] + dp [0][i-1][j-1])%mod; dp[1][i][j] = (dp[1][i-1][j+1] + dp [1][i-1][j-1])%mod; } dp[0][i][n+1] = (dp[0][i-1][n + 2] + dp[1][i-1][n + 2] + dp[0][i-1][n] + dp[1][i-1][n] )%mod; dp[1][i][n+1] = dp[0][i][n+1]; } printf("%lld\n",dp[0][n][n+1]); } else if (typ==3) { ll answ = ( catalan(n/2) * catalan( (n+2)/2 ))%mod; printf("%lld",answ); } return 0; }
这些数学题好啊,以后要多学点。