DP 最长公共子序列（题解）

【题目描述】

一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。确切地说，若给定序列X=X=，则另一序列Z＝Z＝是X的子序列是指存在一个严格递增的下标序列,使得对于所有j=1,2,…,k有：

Xij=ZjXij=Zj

例如，序列Z=是序列X=的子序列,相应的递增下标序列为<2,3,5,7>。给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。例如，若X＝和Y＝，则序列是X和Y的一个公共子序列,序列 也是X和Y的一个公共子序列。而且，后者是X和Y的一个最长公共子序列．因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。

给定两个序列X＝X＝和Y=Y=．要求找出X和Y的一个最长公共子序列。

【输入】

共有两行。每行为一个由大写字母构成的长度不超过1000的字符串，表示序列X和Y。

【输出】

第一行为一个非负整数。表示所求得的最长公共子序列的长度。若不存在公共子序列．则输出文件仅有一行输出一个整数0。

【输入样例】

ABCBDAB

BDCABA

【输出样例】

4

【提示】

最长公共子串（Longest Common Substirng）和最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）的区别为：子串是串的一个连续的部分，子序列则是从不改变序列的顺序，而从序列中去掉任意的元素而获得新的序列；也就是说，子串中字符的位置必须是连续的，子序列则可以不必连续。字符串长度小于等于1000。

题目分析：

直接以两个子序列结尾当作状态。

1.确定状态：

设f[x][y]表示s【1…x】t[1…y]的最长公共子序列长度。

2.确定状态转移方程和边界条件

第一种：s【x】不在公共子序列，则f【x】【y】=f【x-1】【y】

第二种：t【y】不在公共子序列，则f【x】【y】=f【x】【y-1】

第三种：s【x】==t【y】，且在公共子序列当中，f【x】【y】=f【x-1】【y-1】+1

F【x】【y】要取三种状态的最大值

状态转移方程：f【x】【y】=max（f【x-1】【y】，=f【x】【y-1】，f【x-1】【y-1】+1

边界条件f【0】【y】=0，f【x】【0】=0

实现代码：

#include
using namespace std;
const int maxn=5005;
string s,t;
int i,j,f[maxn][maxn];
int main()
{
    cin>>s>>t;
      int ls=s.length();
      int lt=t.length();
    for(i=1;i<=ls;i++)
        {for(j=1;j<=lt;j++)
            cout<