取模运算

取模运算是求两个数相除的余数。

取模运算("Modulo Operation")和取余运算("Remainder Operation ")两个概念有重叠的部分但又不完全一致。主要的区别在于对负整数进行除法运算时操作不同。取模主要是用于计算机术语中。取余则更多是数学概念。

模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影。虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍，但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序设计中的应用涉及不多。

基本信息

中文名称

取模运算

公式

n = kp + r

求整数商

c = [a/b]

计算模

r = a - c*b

目录

1取余运算区别

2概念

3应用

折叠编辑本段取余运算区别

对于整型数a，b来说，取模运算或者求余运算的方法都是:

1.求整数商: c = [a/b];

2.计算模或者余数: r = a - c*b.

求模运算和求余运算在第一步不同: 取余运算在取c的值时，向0 方向舍入(fix()函数);而取模运算在计算c的值时，向负无穷方向舍入(floor()函数)。

例1.计算:-7 Mod 4

那么:a = -7;b = 4;

第一步:求整数商c:

①进行求模运算c = [a/b] = -7 / 4 = -2(向负无穷方向舍入)，

②进行求余运算c = [a/b] = -7 / 4 = -1(向0方向舍入);

第二步:计算模和余数的公式相同，但因c的值不同，

①求模时:r = a - c*b =-7 - (-2)*4 = 1，

②求余时:r = a - c*b = -7 - (-1)*4 =-3。

例2.计算:7 Mod 4

那么:a = 7;b = 4

第一步:求整数商c:

①进行求模运算c = [a/b] = 7 / 4 = 1

②进行求余运算c = [a/b] = 7 / 4 = 1

第二步:计算模和余数的公式相同

①求模时:r = a - c*b =7 - (1)*4 = 3，

②求余时:r = a - c*b = 7 - (1)*4 =3。

归纳:当a和b正负号一致时，求模运算和求余运算所得的c的值一致，因此结果一致。

当正负号不一致时，结果不一样。

另外各个环境下%运算符的含义不同，比如c/c++，java 为取余，而python则为取模。

补充:

7 mod 4 = 3(商 = 1 或 2，1<2，取商=1)

-7 mod 4 = 1(商 = -1 或 -2，-2<-1，取商=-2)

7 mod -4 = -1(商 = -1或-2，-2<-1，取商=-2)

-7 mod -4 = -3(商 = 1或2，1<2，取商=1)

这里模是4，取模其实全称应该是取模数的余数，或取模余。

增加补充内容(以上五行)后，被修改商值，但是括号内容不变，出现奇怪矛盾。

在python下 % 运算符代表取模，如要修改，请先用python做

-7 % 4

运算，或其它语言做取模运算验证，理解后再动手。

折叠编辑本段概念

折叠定义

给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式 :

n = kp + r ;

其中 k、r 是整数，且 0 ≤ r < p，则称 k 为 n 除以 p 的商，r 为 n 除以 p 的余数。

对于正整数 p 和整数 a,b，定义如下运算:

取模运算:a % p(或a mod p)，表示a除以p的余数。

模p加法: ，其结果是a+b算术和除以p的余数。

模p减法: ，其结果是a-b算术差除以p的余数。

模p乘法: ，其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。

说明:

1. 同余式:正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做 或者a ≡ b (mod p)。

2. n % p 得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如:7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3。

折叠基本性质

若p|(a-b)，则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)

(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)

对称性:a≡b (% p)等价于b≡a (% p)

传递性:若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p)

折叠运算规则

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下:

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p (1)

(a - b) % p = (a % p - b % p ) % p (2)

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p (3)

a ^ b % p = ((a % p)^b) % p (4)

结合律:((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p (5)

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p (6)

交换律:(a + b) % p = (b+a) % p (7)

(a * b) % p = (b * a) % p (8)

分配律:(a+b) % p = ( a % p + b % p ) %p(9)

((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p (10)

折叠重要定理

若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c)/ ≡ (b + c) (%p);(11)

若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p);(12)

若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，(a * c) ≡ (b * d) (%p); (13)

折叠编辑本段应用

折叠判别奇偶数

奇偶数的判别是模运算最基本的应用，也非常简单。

已知一个整数n对2取模，如果余数为0，则表示n为偶数，否则n为奇数。

C++实现功能函数:

折叠判别素数

一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数(或素数)。例如 2，3，5，7 是质数，而 4，6，8，9 则不是，后者称为合成数或合数。

判断某个自然数是否是素数最常用的方法就是试除法--用不比该自然数的平方根大的正整数去除这个自然数，若该自然数能被整除，则说明其非素数。

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折叠求最大公约数

求最大公约数最常见的方法是欧几里德算法(又称辗转相除法)，其计算原理依赖于定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明:

a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，则有d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则d | b , d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

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折叠水仙花数

水仙花数是指一个 n 位正整数 ( n≥3 )，它的每个位上的数字的 n 次幂之和等于它本身。(例如:1^3 + 5^3+ 3^3 = 153)。

水仙花数只是自幂数的一种，严格来说三位数的3次幂数才称为水仙花数。

附:其他位数的自幂数名字

一位自幂数:独身数

两位自幂数:没有

三位自幂数:水仙花数

四位自幂数:四叶玫瑰数

五位自幂数:五角星数

六位自幂数:六合数

七位自幂数:北斗七星数

八位自幂数:八仙数

九位自幂数:九九重阳数

十位自幂数:十全十美数

假设:取1至1000内的水仙花数，那么其实只有当i>99时才成立，因为水仙花数是由3位数组成。

如果要判断一个三位数是否为水仙花数

根据运算规则，水仙花数是三位数的每个位的数的3次幂，例如999，需要取9,9,9三个数并且三数相乘的合再判断。

程序循环方式:

需要用取余数的整数的方式去完成判断条件:分别从三位数中利用取余去取百位、十位、个位数，加以判断

var a,b,c,d

for(i=1;i<1000;i++){

a = parseInt(i%10); //这一步取到了个位数

b = parseInt(i/10%10); //这一步取到了十位数

c= parseInt(i/100%10); //这一步取到了百位数

d = a*a*a+b*b*b+c*c*c;//水仙花数

if(d==i&&d>99){//比较判断，且是三位数。

alert(d+"是水仙花数") //输出水仙花数。

}

}

折叠模幂运算

利用模运算的运算规则，我们可以使某些计算得到简化。

例如，我们想知道3333^5555的末位是什么。很明显不可能直接把3333^5555的结果计算出来，那样太大了。但我们想要确定的是3333^5555(%10)，所以问题就简化了。

根据运算规则(4)a^b % p = ((a % p)^b) % p ，我们知道3333^5555(%10)= 3^5555(%10)。

根据运算规则(3) (a * b) % p = (a % p * b % p) % p ，由于5555 = 4 * 1388 + 3，我们得到3^5555(%10)=(3^(4*1388) * 3^3)(%10)=((3^(4*1388)(%10)* 3^3(%10))(%10)

=((3^(4*1388)(%10)* 7)(%10)。

根据欧拉定理可以得到 3 ^ (4 * k) % 10 = 1, 所以((3^(4*1388)(%10)* 7)(%10)= (1 * 7) (% 10) = 7

计算完毕。

利用这些规则我们可以有效地计算X^N(% P)。简单的算法是将result初始化为1，然后重复将result乘以X，每次乘法之后应用%运算符(这样使得result的值变小，以免溢出)，执行N次相乘后，result就是我们要找的答案。

这样对于较小的N值来说，实现是合理的，但是当N的值很大时，需要计算很长时间，是不切实际的。下面的结论可以得到一种更好的算法。

如果N是偶数，那么X^N =(X*X)^[N/2];

如果N是奇数，那么X^N = X*X^(N-1) = X *(X*X)^[N/2];

其中[N]是指小于或等于N的最大整数。

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折叠《孙子问题(中国剩余定理)》

在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题:

"今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?"意思是，"一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求适合这个条件的最小数。"

这个问题称为"孙子问题".关于孙子问题的一般解法，国际上称为"中国剩余定理".

我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》(1593年)中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法:

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。

"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，当所得的数比105大时，就105、105地往下减，使之小于105;这相当于用105去除，求出余数。

这四句口诀暗示的意思是:当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大，就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。

根据剩余定理，我把此种解法推广到有n(n为自然数)个除数对应n个余数，求最小被除数的情况。输入n个除数(除数不能互相整除)和对应的余数，计算机将输出最小被除数。

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折叠凯撒密码

凯撒密码(caeser)是罗马扩张时期朱利斯·凯撒(Julius Caesar)创造的，用于加密通过信使传递的作战命令。

它将字母表中的字母移动一定位置而实现加密。注意26个字母循环使用，z的后面可以看成是a。

例如，当密匙为k = 3，即向后移动3位时，若明文为"How are you!"，则密文为"Krz duh btx!"。

凯撒密码的加密算法极其简单。其加密过程如下:

在这里，我们做此约定:明文记为m，密文记为c，加密变换记为E(key1,m)(其中key1为密钥)，

解密变换记为D(key2,m)(key2为解密密钥)(在这里key1=key2,不妨记为key)。

凯撒密码的加密过程可记为如下一个变换:c≡m+key (mod n) (其中n为基本字符个数)

同样，解密过程可表示为:m≡c+key (mod n) (其中n为基本字符个数)

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模运算及其简单应用就先讲到这了，其实模运算在数学及计算机领域的应用非常广泛，我这这里搜集整理了一些最最基本的情形，希望能够起到一个抛砖引玉的作用，让更多的人关注模运算，并及其应用到更广阔的领域中。