字符串匹配 - KMP算法

有限自动机
一个有限自动机M是一个五元组(Q,q0,A,Σ,δ),其中：

Q是状态的集合，
q0∈Q是初始状态，
A是Q的字集，是一个接受状态集合，
Σ是一个有限的输入字母表，
δ是一个从Q×Σ到Q的函数，叫做转移函数。
下面定义几个相关函数：

φ(w)是M在扫描字符串w后终止时的状态。函数φ有下列递归关系定义：φ(ε) = q0，φ(wa) = δ(φ(w),a)，
σ(x)是x的后缀中，关于P的最长前缀的长度。
字符串匹配自动机
来回顾一下朴素算法。给定下面两个字符串，模式串P，和匹配串T。

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P a b a b a c a       
T a b a b a b a c a b a
当第一次匹配时，i=0，但是扫描到i=5的时候，字符串不在匹配。此时另i=1，重新匹配。这就是朴素算法需要改进的地方。当i=5的时候，观察表格发现P[0...3]=T[2...5]，此时如果能够匹配T[5+1]和P[3+1]就不需要从i=2开始扫描了，效率就大大的提升了，这样匹配的时间复杂度就只有O(n)了。这里P[0...3]叫做P的前缀，T[2...5]叫做T5的后缀。此时σ(T5) = 3。这样在自动机的操作中，如果每次状态转移都能够保证：

　　　　　　　　φ(Ti)=σ(Ti)

那么就可以保证最终的正确匹配。下面来做简单的推理：

根据φ(x)的定义，有φ(Tia) = δ(φ(Ti),a)，其中a为任意字母；

由φ(Ti)=σ(Ti)，可以得到φ(Tia)=σ(Tia) = q，即φ(Tia)=σ(Pqa)；

综上，δ(φ(Ti),a)=σ(Pqa),，可以得到一个状态转移函数δ(q,a)=σ(Pqa)。这样就可以做出一个正确的状态转移图，然后就可以匹配字符串了。

用文字来描述一下：在自动机中，状态q就是Ti的后缀在P的最长前缀的长度。这样每次能够满足这个条件，就能够保证算法的正确进行。这里，在《算法导论》中有详细的数学证明。

KMP算法
KMP算法不建立一个有限自动机，但是必须要构建一个前缀函数，这里就叫做前缀数组吧。模式P和自己先匹配，得到前缀数组。前缀数组其实保存的就是自动机中的σ(x)的值。这样预处理的时间复杂度和自动机比就减少了很多。

预处理
给定模式P：

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
P a b a b a b a b c a
next 0 0 1 2 3 4 5 6 0 1
这里Pi[next[i]]表示的是Pi的关于P的最长后缀，P[i]表示P关于Pi的前缀。

当i=0时：

P0和P比较，P0[0] != P[0]，所以next[0]=0；

当i=1时：

P1和P比较，P1[0] != P[1]，所以next[1]=0；

当i=2时：

P2和P比较，P2[0] = P[2]，所以next[2]=1；

当i=3时：

P3和P比较，P3[1] = P[3]，所以next[3] = 2；

如此这般，就可以求得next数组了。一般算法描述数组都是从1开始，但是写代码的时候，数组是从下标0开始的，所以上面的next数组的每一个值都应该减一。next[i]=-1表示没有前缀匹配。这样在写代码的时候，应该是这样的：

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
P a b a b a b a b c a
next -1 -1 0 1 2 3 4 5 -1 0
当i=0时，初始化next[0] = -1；

当i=1时，(P1[next[0]+1] = a) != (P[1] = b)，next[1] = -1；

当i=2时，(P2[next[1]+1] = a) != (P[2] = a)，next[2] = 0；

当i=3时，(P3[next[2]+1] = b) !=(P[3] = b)，next[3] = 1；

...

这样就不难发现next数组的作用了，记录了当前的σ(Pi)。Pi[next[i]+1] = P[i]，就表示Pi最长前缀加一个字母和P的后缀加一个字母是否匹配。此时有两种情况：

Pi[next[i]+1] = P[i]，这个时候σ(Pi+1) = σ(Pi) + 1，继续
Pi[next[i]+1] != P[i]，这个时候没有直接从Pi[0]是不是等于P[i]扫描，而是从Pi[next[next[i]]+1]开始扫描。因为目前一定可以保证Pi[next[next[i]]是P的一个前缀。
下面是C代码的实现的求next数组：

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void get_next(char *P, int next[],int len)
{
    printf("len=%d\n",len);
    next[0] = -1;
    int q = -1;
    int i;
    for(i = 1; i < len; i++) {
        while(q > 0 && P[q+1] != P[i]) { /* 判断P[q+1]适合等于P[i] */
            q = next[q]; /* 如果不相等， 一直找到满足条件的最长后缀 */
        }
        if(P[q+1] == P[i]) q++; /* 如果相等，那么很好，继续... */
        next[i] = q;
        
    }
}
 匹配
当求出next数组后，就可以进行字符串匹配了。匹配的方法和求next的方法相识。下面是完整的代码：

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/*************************************************************************
    > File Name: KMP.c
    > Author: mr_zys
    > Mail: 247629929@163.com
    > Created Time: 2014年10月09日 星期四 14时48分30秒
 ************************************************************************/
 
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define maxn 100
int next[maxn];
char P[maxn],T[maxn];
 
void get_next(char *P, int next[],int len)
{
    printf("len=%d\n",len);
    next[0] = -1;
    int q = -1;
    int i;
    for(i = 1; i < len; i++) {
        while(q > 0 && P[q+1] != P[i]) { /* 判断P[q+1]适合等于P[i] */
            q = next[q]; /* 如果不相等， 一直找到满足条件的最长后缀 */
        }
        if(P[q+1] == P[i]) q++; /* 如果相等，那么很好，继续... */
        next[i] = q;
        
    }
}
void KMP(char *P, char *T)
{
    int len_P = strlen(P);
    int len_T = strlen(T);
    int j = -1;
    int i;
    for(i = 0; i < len_T; i++) {
        while(j > -1 && T[i] != P[j+1]) {
            j = next[j];
        }
        if(P[j+1] == T[i]) {
            j++;
            //printf("%d %d\n",j,i);
        }
        if(j == len_P-1){
            printf("在%d处开始匹配\n",i-len_P+1);
            j = next[j];
        }
    }
}
int main()
{
    printf("input the string P:\n");
    scanf("%s",P);
    printf("input the string T:\n");
    scanf("%s",T);
    printf("%s\n",P);
    get_next(P,next,strlen(P));
    int i;
    for(i = 0; i < strlen(P); i++) {
        printf("(%d)",next[i]);
    }
    printf("\n");
    KMP(P,T);
    return 0;
}
 可能，中间有些表述不清，求指正哈！