[C++]LeetCode: 69 Multiply Strings

Given two numbers represented as strings, return multiplication of the numbers as a string.

Note: The numbers can be arbitrarily large and are non-negative.

Answer 1: 基础法

大整数乘法

根据小学手算乘法的规则，我们把每一位相乘，得到一个没有进位的临时结果，如图中间的一行红色数字就是临时结果，然后把临时结果从低位起一次进位。对于一个m位整数乘以一个n位整数的结果，存储空间，最多m+n位（加上一位进位）。

1. 如果结果中最高位为0，需要去掉前导0.

 int i = k+1;
 while(tmpres[i] == 0)i--;//去掉乘积的前导0

 if(i < 0)return "0"; //注意乘积为0的特殊情况

即”254“ => s[0] = '2', s[1] = '5' , s[2] = '4'

4. 注意存储空间的确定，位数等。

由于用tmp[k-i-j]存储每一个临时求和结果，max(i) = len1-1; max(j) = len2-1; k取 len1+ len2 -2即可，k是下标，下标从零开始。

实际tmp存储空间应该是(k+1) + 1, 其中k+1代表临时结果的数量，1代表乘法可能产生最高位的一位进位。所以

对于一个m位整数乘以一个n位整数的结果，存储空间，最多m+n位。注意这个最高位对应下标为k+1.

复杂度：O(N^2)

AC Code:

class Solution {
public:
    string multiply(string num1, string num2) {
        int len1 = num1.size();
        int len2 = num2.size();
        vector tmp(len1 + len2, 0);
        int k = len1 + len2 - 2; //最低位即 (len1-1) * (len2-1），存储到tmp[0]
        
        for(int i = 0; i < len1; i++)
        {
            for(int j = 0; j < len2; j++)
            {
                tmp[k-i-j] += (num1[i]-'0') * (num2[j]-'0');
            }
        }
        
        //处理进位
        int carryBit = 0;
        for(int i = 0; i < len1 + len2; i++)
        {
            tmp[i] += carryBit;
            carryBit = tmp[i]/10;
            tmp[i] %= 10;
        }
        
        int i = k + 1;
        while(tmp[i] == 0) i--;  //去除乘积前导0
        if(i < 0) return "0";    //处理特殊情况乘积为0
        
        string ret;
        for(;i >= 0; i--)
        {
            ret.push_back(tmp[i] + '0');
        }
        
        return ret;
    }
};

这道题其实还有更加优的做法，就是用十大最牛的算法之一--Fast Fourier transform(FFT)。使用FFT可以在O(nlogn)时间内求出多项式的乘法，在这里只需要把变量x带入10，然后按照求多项式的方法就可以求出两个大整数的成绩了。不过FFT实现不是很简单，所以在面试中一般不需要写代码，只需要知道这个思路和基本工作原理就可以了哈。

查阅资料，有篇博文写的比较详细：使用快速傅里叶变换计算大整数乘法

向量 {c_k} 是向量 {a_i} 和向量 {b_j} 的卷积。根据卷积定理，向量卷积的离散傅里叶变换是向量离散傅里叶变换的乘积。于是，我们可以按照以下步骤来计算大整数乘法：

快速傅里叶变换的要点如下：一个界长为 N 的离散傅里叶变换可以重新写成两个界长各为 N/2 的离散傅里叶变换之和。其中一个变换由原来 N 个点中的偶数点构成，另一个变换由奇数点构成。这个过程可以递归地进行下去，直到我们将全部数据细分为界长为 1 的变换。什么是界长为 1 的傅里叶变换呢？它正是把一个输入值复制成它的一个输出值的恒等运算。要实现以上算法，最容易的情况是原始的 N 为 2 的整幂次项，如果数据集的界长不是 2 的幂次时，则可添上一些零值，直到 2 的下一幂次。在这个算法中，每递归一次需 N 阶运算，共需要 log N 次递归，所以快速傅里叶变换算法的时间复杂度是 O(N logN)。