实验目的

加深理解Hamming(7,4)码的编码方法和抗干扰性能。通过编程实现Hamming
(7,4)码的便拿码算法，进一步掌握按位二进制加法的实现原理。

实验要求

输入：长度为4的任意二进制序列
输出：输入数据经Hamming(7,4)编码器编码之后，通过作业3(2)二元对称信道模拟器
(错误概率为0.1)传输后，再经过Hamming(7,4)译码器输出得到新宿的长度为4的二进制
序列。

实验原理

基本定义

定义1：设一个D元(N, L)线性分组码的生成矩阵G,校验矩阵H。则H是一个D源(N,N-L)
线性分组码的生成矩阵，G是此码的一个校验矩阵。称这两个码互为对偶码。

定义2：一个N维向量的Hamming重量为它的对应位置值不等于0的位数。

定义3：两个N维向量的Hamming距离定义为他们的对应位置不同的位数。

信道的输入为码字U，信道的输出为向量Y，称向量e=Y?U为差错向量。

设H是校验矩阵，对于N维行向量t，记s=tHT为向量t的伴随式。

基本定理

定理1：设信道输入码字U，输出向量为Y，差错向量e=Y?U，则e的伴随式等于Y的
伴随式。

实现原理

二元码和非二元码都存在汉明码，我们以二元汉明码为例。汉明码不是一个码，而是一类码，
凄惨数具有下列形式
(n,k)=(2m?1,2m?m?1)
其中m为正整数。例如当m=3时，就得到了(7,4)汉明码。汉明码的校验矩阵具有特殊的性质
，对于二元码，它的2m?1个列包含了除0之外的所有n?k=m维向量。通过观察可以发现，
校验矩阵H中任何两个列矢量是线性独立的，但是可以找到3个列矢量之和为0.所以对于所有的
汉明码器最小汉明距离dmin=3。

由于汉明码的校验矩阵 包含了所有非零m维向量，通过编排列矢量的顺序可以很容易地得到具有
式H=[?PT|In?k]形式的系统汉明码的校验矩阵H，进而可以得到系统汉明码的生成
矩阵。例如观察如下校验矩阵，其列矢量为(001),(010),(011),(100),(101),(110),(111)。
A=?????1000010000100001111001111101?????=[I4|P]

算法实现

汉明码的定义是一个线性分组码，它的最小Hamming距离为3,能纠正全部一位错误。
而且编码译码都非常简单，接收矢量的伴随式等于校验矩阵H中与出错位对应的矢之和。
\subsection{算法步骤}
1. 通过线性变换由信源端产生的L长的信号x生成信道编码后的N长的信号Y，
Y=XG其中G是生成矩阵。
2. 将步骤1产生的信号Y通过二元对称信道，二元对称信道需设置错误概率。通过
二元对称信道的信号计为Y′
3.由公式s=Y′HT计算出Y′的伴随式s，根据定理可知信道输出Y′的伴随式
和差错向量e的伴随式相等，将Y′产生的伴随式当作差错向量e产生的伴随式进一步
找到可能的差错向量。
4. 在以s为伴随式的全体“可能的差错向量中”，取一个Hamming重量最小的向量作为
s的培集首，记为e(s)。
5. 计算通过信道前的信号Y，U=Y′?e(s)。
6. 输出线性U的线性逆变换即为经过信道传输并经过Hamming编码译码的信号。

算法程序实现

主函数部分依次执行各个模块的功能

 int  main()
{
  int n;
  cout<<"请输入四位信息位"<>message[n];
  }
  creat_code(message,G);
  cout<<"发送的七位代码为："<>Y[n];
  }
  syndrome(Y,H);
  cout<<"校正子为："<<endl; for(n="0;n<3;n++) endl=" " pre="" return="">
可以看到主函数一次执行的功能包括：
输入四位的原始信息
产生7位信道编码
7位编码经过二元对称信道后的编码
生成矫正子和纠正子(也就是原理中对应的差错编码)
输出接收到的7位编码
输出解码后的4位信息码
　核心函数包括


void creat_code(int array1[4],int array2[4][7]) 

该函数用来生成7位的信道编码，输入的参数是4位的信源符号和4×7的生成矩阵。
void creat_code(int array1[4],int array2[4][7]) //生成七位发送的代码
{
  int i,j,m=0;
  for(j=0;j<7;j++)
    {
      for(i=0;i<4;i++)
      {
        m=(array1[i]*array2[i][j])^m;
      }
    send[j]=m;
    m=0;
    }
}
void syndrome(int array[7],int array1[3][7])
该函数用来计算矫正子也就是原理中提到的输出向量的伴随式，

输入参数1是经过二元对称信道的信号编码，参数2是校验矩阵。

“`

void syndrome(int array[7],int array1[3][7]) //得出矫正子S

{

int k=0,a,b;

for(a=0;a<3;a++)

{

for(b=0;b<7;b++)

{

k=k^(array1[a][b]*array[b]);

}

S[a]=k;

k=0;

}

}
 3. void comp(int array1[3],int array[3][7])

  该函数用来生成纠正子，也就是我们原理那部分的差错向量e，输入参数1是函数2产生的伴随式，
  输入参数2是校验矩阵。
  ```
  void comp(int array1[3],int array[3][7]) //得出纠正子e
{
  int i=0,j=0,m=1,p;
  while(m)
  {//j=j+1;
          if((array1[0]==array[0][i])&&(array1[1]==array[1][i])&&(array1[2]==array[2][i]))
          {
            m=0;
            row=j;
            for(p=0;p<7;p++)
              {
                if(p==row)e[p]=1;else e[p]=0;
              }
          }
            else
            {
              j=j+1;i++;
              if(i==7)
              {
                for(p=0;p<7;p++)
                {
                  e[p]=0;
                }
                m=0;
      }
      }
      }
}
void correct_code(int array3[7],int array4[7])

该函数的功能是得出更正后的码字,输入参数1是校验矩阵，输入参数2是最小Hamming距离的差错向量。
void correct_code(int array3[7],int array4[7]) //得出正确的码字
{
  int z;
  for(z=0;z<7;z++)
  {
    C[z]=Y[z]^e[z];
  }
  for(z=0;z<4;z++)
  {
    get_code[z]=C[z+3];
  }
}
我们测试的输入向量为[1 0 1 0],生成的7位编码为[0 0 1 1 0 1 0],假设通过二元对称信道后的编码

为[0 0 1 1 0 1 1]即最后一位发生错误，那么得到的伴随式为[1 0 1],最小Hamming距离对应的

差错向量为[0 0 0 0 0 0 1],所以得出接收到的7位编码为[0 0 1 1 0 1 0],最后的出纠正后的

编码为[1 0 1 0],和我们输入的向量是一样的，所以按此方法可以做到信道编码的纠错。
总结
此次实验通过模拟Hamming编码译码器的功能，从原理上分析了信道编码的基本流程，和相应的实现方法，

以Hamming编码译码器为例展开讨论，深化了我们对信道编码和信道传输的理解。