图和网络

以下面这个图为例， 简单介绍一下图和网络

上面这个图是一个电路图， 箭头方向表示的是电流的流向。 节点数 n 为：4； 边 m 为：5；①②③组成了一个回路（loop）， ③④⑤ 也组成了一个回路， 对于一个图来说， 回路的数量和位置至关重要。

我们可以用一个5*4的矩阵来描述一下这个图， 用来描述图的矩阵称为关联矩阵（关联矩阵的秩为节点数 - 1）。 可以根据电流的参考方向来判断正负。那么关联矩阵就可以描述成A=， 为什么矩阵是这个形式呢？ 以第一条电流方向为例： 因为电流参考方向是从1->2， 所以可以将 1 节点电流定为 -1， 2 节点电流定为 1， 其余节点因为和这部分电流无关， 所以为 0 。

A矩阵中非零元素的数目是2m， 就是边的两倍。 我们从实际问题出发， 得到了图以及它的关联矩阵，关联矩阵描述了问题的拓扑结构。

下面我们主要来讨论一下A矩阵的几个基本空间

零空间

即使得 Ax=0 成立的x。根据 Ax=0 有如下推导过程：

注意一下矩阵A的实际意义：电路图。 通过矩阵A可以算出各边差值， 节点间的电势差。 我们可以将 x = {x1, x2, x3, x4}作为各个节点电势， 将它们和A相乘， 得到 x2 - x1, x3 - x2 …………等五个分量， 它们就是用过A计算出来的电势差。

Q：那电势差什么为零呢？

首先明白为什么要讨论电势差为零的情况， 电势差是 A乘以x得来的， A不可能为零， 所以想要电势差为零， 只有当x为零时才成立。 此时的x正好是A的零空间。 这就是为什么要讨论电势差为零的情况以及电势差什么为零（零空间）。 显然， 当x=0时肯定成立。 除此之外呢？ 由上面的推导我们可以得到如下方程：

四个变量， 五个方程组； 一般情况下是无解的， 但是由于其特殊性， 该方程有无数解。 当x1 = x2 = x3 = x4时，也就是零电势时， 方程组成立。

由以上可知：零空间的一组基为x = , 维数为：1。 这个零空间的物理意义是什么呢？ 其实前面已经隐约提到过了； 电势差是产生电流的原因， 电势差为 0， 那么两点间就没有电流通过。

列空间

由于一些共同的东西都在前面的零空间中介绍过了， 所以这里就不在啰嗦了。

在上面那个图中， 如果将节点 4 接地， 那么可以求出节点1~3的值， 所以列 4 其实是可以通过列1， 列2， 列3的线性组合得到的。 所以矩阵的秩为3。 这点从下面这个矩阵也可以得出。

知道了秩， 维度就很容易了

A的转置零空间

A^Ty = 0， A^T = , 根据A^T = 0 可以得到：

维数等于：m - r = 2。 由上面的等式可得。 这个方程式代表的是什么呢？ 我们不妨再看一下上面的图

第一个方程式：y1 = y3 + y4， 还记得我们这个图的实际意义吗？ 没错这个式子反映的就是“基尔霍夫电流定律” ：流入 1 节点的电流 = 流出 1 节点的电流。 下面每个方程都是如此。

A的转置零空间的一组基是：， 为什么会是这样呢？ 前面已经提到过， 对于一个图来说， 回路很重要。 这个图， 回路数是 2 ， 所以基的维数也是 2。 另外我们使每一个回路结构都为零就可以写出基向量了（注意：一次将一个回路的结果配成0， 其余回路直接取 0）。

行空间

也就是A的转置的列空间。 主列为列1， 列2， 列4。我们在图中找到这几条边， 可以发现这几条边并不能组成一个回路， 这是意料之中的， 因为如果是一个回路的话， 那这几个向量肯定是线性相关的。 这种并没有组成回路的相连的边我们称为“树（tree）”

这里介绍一个重要的公式：

loops = m - r

loops是相互无关的回路数， m 是边的数量， r 为关联矩阵的秩

把 r 用 （nodes - 1） 来替代。 可以得到

loops - m + nodes = 1

nodes为节点数量。 这个公式就是欧拉公式

这个公式怎么理解呢？

nodes是点， 也就是零维的； m 是边， 也就是一维的； loops是面， 也就是二维的。 所以结果就是 1。