编程开发中如何绘制科赫雪花和科赫曲线？

1. 科赫雪花和科赫曲线

科赫曲线（Koch curve）是一个简单的分形（fractal）图形。瑞典数学家海里格·冯·科赫（Helge von Koch：https://en.wikipedia.org/wiki/Helge_von_Koch）于 1904 年的论文 [1] 中提及科赫曲线的构造方法。

给定一直线线段，把它等分三段，加入一个等边三角形，以三段的中间一段为底对齐，再去除该段线段。然后，对每个新线段重复进行上述步骤，就能形成科赫曲线：

当

，科赫曲线的长度也是无穷的。

如果画 3 条科赫曲线，每次旋转 120 度，就能得到科赫雪花（Koch snowflake：https://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake）：

2. 用 ASCII 字符绘画

我们可以用斜线 /、反斜线 \、下划线 _ 和空格这 4 个 ASCII 字符来绘画这个图形：

n=0
 
__
 
n=1
   
__/\__
   
n=2
         
   __/\__   
   \  /   
__/\__/  \__/\__

但有些情况我们需要在一个字符中画下划线和斜线，例如 n = 3 的时候：

n=3

            __/\__            
            \  /            
         __/\__/  \__/\__         
         \        /         
      这里 -> /_       _\ <- 这里 
          \      /          
   __/\__   __/      \__   __/\__   
   \  /   \        /   \  /   
__/\__/  \__/\__/        \__/\__/  \__/\__

这时候我们可以选择只画斜线、反斜线。

3. 用 C 语言实现科赫曲线

我们创建一个字符数组 image 作为画布，用于存储绘画的中间结果，最后再把数组打印出来。数组的大小为画布宽长之积 w * h。

设坐标系统是 x 向右、y 向下，并定义字符的左下角为坐标。例如，画笔从 (x, y) 之处往右画，便赋值 image[y * w + x] = '_' ，并把 x 增 1。

我们也定义 6 个方向，0 代表向右，1代表右上，2 代表左上等。注意水平方向（0 和 3）需要画两个下划线，其他方向只画一个字符。

每次调用 KochCurve(n, dir) 函数，表示我们要从当前位置 (x, y) 向 dir 方向绘画一条 n 阶科赫曲线。那么要画一条 n 阶科赫曲线，其实就只需要根据所需方向画 4 条 n - 1 阶科赫曲线。直到 n = 0，一条 0 阶科赫曲线就是一条直线，我们届时只需按 dir 用字符画一条直线。

完整代码如下：

#include #include static char* image;static int x, y, w, h;static void Put(int i, int j, char c) {
  char *p = image + j * w + i;
  if (*p == ' ' || *p == '_') // _ can be overridden by / or \.
    *p = c;}static void KochCurve(int n, int dir) {
  if (n == 0)
    switch (dir % 6) {
      case 0: Put(x++, y , '_' );
          Put(x++, y,  '_' ); break;
      case 1: Put(x++, y--, '/' ); break;
      case 2: Put(--x, y--, '\\'); break;
      case 3: Put(--x,  y, '_' );
          Put(--x,  y, '_' ); break;
      case 4: Put(--x, ++y, '/' ); break;
      case 5: Put(x++, ++y, '\\'); break;
    }
  else {
    KochCurve(n - 1, dir  );
    KochCurve(n - 1, dir + 1);
    KochCurve(n - 1, dir + 5);
    KochCurve(n - 1, dir  );
  }}int main() {
  w = 2;
  h = 1;
  for (int n = 0; n < 4; n++) {
    char b[w * h];
    image = b;
    memset(image, ' ', w * h);

    x = 0;
    y = h - 1;
    KochCurve(n, 0);

    printf("\nn=%d\n\n", n);
    for (int j = 0; j < h; j++) {
      for (int i = 0; i < w; i++)
        putchar(image[j * w + i]);
      putchar('\n');
    }

    w *= 3;
    h = n == 0 ? 1 : h * 3;
  }}

main() 中使用了 C99 的 VLA 分配 image 数组，如用 C89 可改为 malloc()/free()。

4. 实现科赫雪花

科赫雪花仅仅是由 3 科赫曲线组成。我们只需改一下 main()，把画布变大一点，以及在合适的起始坐标画 3 条科赫曲线：

int main() {
  w = 2;
  h = 4;
  for (int n = 0; n < 4; n++) {
    char b[w * h];
    image = b;
    memset(image, ' ', w * h);

    x = 0;
    y = h / 4 - 1;
    KochCurve(n, 0);
    KochCurve(n, 4);
    KochCurve(n, 2);

    printf("\nn=%d\n\n", n);
    for (int j = 0; j < h; j++) {
      for (int i = 0; i < w; i++)
        putchar(image[j * w + i]);
      putchar('\n');
    }

    w *= 3;
    h = n == 0 ? 4 : h * 3;
  }}

输出（只展示 n = 3）：

5. 总结与扩展

分形图形可以用极简单的定义，生成复杂的图形。在本文中，展示如何用 C 语言中，利用递归和 ASCII 字符绘画出科赫曲线和科赫雪花。

你还可以简单地改变 KochCurve() 中的实现，产生不同的变种，如The Root 9 Triangle Grid Family展示的：

你还可以尝试一下，不使用画布，但这样需要在每个字符格子绘画整条曲线，性能较差。要提升性能，可使用每阶科赫曲线的包围盒（ bounding box）作剔除──如果现时的坐标不在包围盒之内，也毋须递归到低一阶的科赫曲线了。